Économétrie — TD 5

Les tests d’hypothèses économiques

Pierre Beaucoral

Code

library(knitr)
knit_hooks$set(optipng = hook_optipng)

1 Introduction

Une question centrale à se poser avant de conclure quant à la validité des résultats est de savoir si le modèle spécifié est correcte:
- La relation est-elle commune pour l’ensemble des individus de l’échantillon?
- La forme fonctionnelle choisie est-elle la meilleure?
- Une variable importante est-elle omise?
Dans ce TD, nous allons apporter quelques tests permettant d’avoir des “intuitions” quant à la validité du modèle choisi

2 La stabilité des coefficients

En économétrie, on fait l’hypothèse implicite de stabilité des coefficients i.e. constance dans le temps et l’espace des paramtres du modle (coefficients, carts-types,…)
Cela implique que la relation entre les variables est identique pour l’ensemble de l’échantillon (individus et période temporelle)
Exemples:
La relation croissance-chomage a-t-elle été modifiée à partir de 1974 dans les pays de l’OCDE?
Les facteurs expliquant le choix d’émigration sont-ils diffrents pour les pays en guerre et les autres pays?
L’objectif des tests de stabilité des coefficients est d’étudier si cette hypothèse est acceptable
Il existe deux grands familles de tests en fonction de la connaissance ou non du point de rupture

Code

set.seed(42)
suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2); library(dplyr); library(tidyr)})

years <- 1960:1990
t0 <- min(years)
t   <- years - t0
n   <- length(years)
t_break <- 1974

## Trajectoire "stable"
y_stable <- 5 + 0.5 * t + rnorm(n, sd = 1.5)

## Trajectoire avec rupture (claire) : saut de niveau + pente plus forte
beta_pre  <- 0.20       # pente avant 1974
beta_post <- 1.10       # pente après 1974
level_jump <- 8         # saut de niveau à 1974
sd_pre  <- 1.2
sd_post <- 1.0

is_post <- years > t_break
# Formule segmentée (continue au point de rupture + saut de niveau explicite)
y_break <- 3 + beta_pre * t +
  is_post * ( level_jump + (beta_post - beta_pre) * (t - (t_break - t0)) ) +
  rnorm(n, sd = ifelse(is_post, sd_post, sd_pre))

df <- tibble(
  year = years,
  stable = y_stable,
  rupture = y_break
) |>
  pivot_longer(-year, names_to = "scenario", values_to = "y") |>
  mutate(segment = case_when(
    scenario == "stable" ~ "Stable (toutes années)",
    scenario == "rupture" & year <= t_break ~ "Avant 1974",
    scenario == "rupture" & year >  t_break ~ "Après 1974"
  ))

# Bandeau après 1974 pour guider l’œil
band <- data.frame(xmin = t_break, xmax = max(years), ymin = -Inf, ymax = Inf)

ggplot() +
  # Bandeau post-1974
  geom_rect(data = band, aes(xmin = xmin, xmax = xmax, ymin = ymin, ymax = ymax),
            inherit.aes = FALSE, fill = "grey90") +
  # Points
  geom_point(data = df, aes(year, y, color = scenario), alpha = 0.7) +
  # Deux droites pour le scénario "rupture" (avant / après)
  geom_smooth(data = df %>% filter(scenario == "rupture"),
              aes(year, y, linetype = segment), method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.1) +
  # Une seule droite pour le scénario "stable"
  geom_smooth(data = df %>% filter(scenario == "stable"),
              aes(year, y), method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.1) +
  # Marqueur de la date de rupture
  geom_vline(xintercept = t_break, linetype = 2) +
  annotate("label", x = t_break + 0.6, y = max(df$y, na.rm = TRUE),
           label = "Rupture 1974", size = 3) +
  labs(x = "Année", y = "Variable (simulée)",
       color = "Scénario", linetype = "Segment (rupture)") +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(legend.position = "top")

Figure 1: Rupture structurelle marquée en 1974 : saut de niveau + changement de pente.

Figure 2: Hétérogénéité des coefficients par groupe (pays en guerre vs autres).

Figure 3: Inverted-U dataset: linear fit misses curvature; quadratic and smoother capture it.

3 La stabilité des coefficients

Test de Chow

Ce test nécessite de connaître le point de rupture
- Intuition: Le test cherche à étudier si les comportements différent dans les deux sous-échantillons (1 & 2)
- En présence de stabilité des coefficients, la SCR de l’chantillon total devrait être égale à la somme des SCR des deux sous chantillons
- \(SCR_{t} \equiv SCR_{1}+SCR_{2}\)
- \(H_0\): Stabilité des coefficients
Caution

Attention: Il faut travailler avec des erreurs homoscédastiques (sinon forte probabilité de rejet de \(H_{0}\))

4 La stabilité des coefficients

Test de Chow

La statistique de Chow suit une loi de Fisher-Snedecor:
- \(CH=\frac{SCR_{t}-(SCR_{1}+SCR_{2})}{SCR_{1}+SCR_{2}}\frac{N-2K}{K} \leadsto F(K,N-2K)\) avec K le nombre de coefficients estimer (donc constante incluse)

Note

On estime 3 régressions, la 1re sur le premier sous-échantillon avant la date de rupture, la 2nde sur le deuxime échantillon après la date de rupture, et la 3me sur l’échantillon complet.

KFaire: View \(\to\) Stability diagnostic \(\to\) Chow Breakpoint Test
Choisir le point de rupture

Note

Ce test peut être fait avec plus de deux sous-groupes

5 La stabilité des coefficients

Test de Chow

Sur petits échantillons, appliquer le test de Chow prédictif:
- \(CH_{p}=\frac{SCR_{t}-SCR_{1}}{SCR_{1}}\frac{N_{1}-K}{N-N_{1}} \leadsto F(N-N_{1},N_{1}-K)\)
Sur EViews, choisir Chow Forecast Test
- Rêgle de décision: Si \(CH < F_{table} =>\) On ne rejette pas \(H_{0}\)

6 La stabilité des coefficients

Test de Quandt-Andrews

Test basé sur le test de Chow mais utile si la date de rupture est inconnue
La procédure du test est la suivante:
- Estimation de la statistique de Chow pour toutes les observations possibles
- On retient la date la plus défavorable l’hypothèse nulle
- On regarde en fonction de la table tabulée par Andrews si \(H_{0}\) est rejetée ou non
Ce test est enregisté sur EViews:
- Stability Diagnostic \(\to\) Quandt-Andrews Breakpoint Test
- Test Sample: Permet de connaître le point de rupture

7 La stabilité des coefficients

Important

Les tests de Chow et Quandt-Andrews sont programmés pour des séries temporelles

Avant de les mettre en oeuvre, il faut classer les données par ordre croissant en fonction de la modalité pouvant être l’origine de la rupture
- Faire Proc \(\to\) Sort Current Page
- Choisir la variable

8 La stabilité des coefficients

Solutions

En cas de non stabilité des coefficients, trois solutions sont envisageables:
Estimer sur des sous-chantillons
Inclure des variables muettes additives et multiplicatives selon la période de rupture
Exclure les points aberrants

Figure 4: Organigramme : familles de tests de stabilité (point connu vs inconnu).

9 Le Test du RESET

Il est important de savoir si le modle est bien spécifié
- Prise en compte de toutes les variables pertinentes
- Utilité de la forme linaire
Une solution simple serait d’inclure ces variables et de tester leur significativité. Cette solution pose problème:
- Perte de degrés de liberté
- Il faut connaître ces variables
- Ne permet pas de traiter du problême de la linarité
\(\to\) Le test du RESET permet de faire la même chose plus simplement

10 Le Test du RESET

Le test du RESET va comparer la spécification retenue à une spécification plus générale:
- \(H_{0}: y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{i}+\beta_{2}z_{i}+\epsilon_{i}\)
- \(H_{1}: y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{i}+\beta_{2}z_{i}+\delta_{1}\hat{y}_{i}^2+\delta_{2}\hat{y}_{i}^3+\delta_{3}\hat{y}_{i}^4+\epsilon_{i}\)
Il va consister à voir si les coefficients \(\delta_{j}\) sont conjointement diffrents de 0 grâce un F-test
Rejet de \(H_{0}\) \(\to\) Mauvaise spcification du modle
- Forme linaire appropriée?
- Variable(s) pertinente(s) non incluse(s)?
Sur EViews: Stability Diagnostic \(\to\) Ramsey RESET Test
- Le polynme retenu est généralement d’ordre 3 ou 4
- Il peut exister un problème de multicolinarité

11 Critères d’information

Il peut être parfois utile de comparer des modèles differents
- Les critres d’information sont utiles pour sélectionner le meilleur modèle économique
- Il existe également le J-test
Les trois principaux critères sont:
- Critère d’Akaike (AIC)
- Critère de Schwartz (SC)
- Critère de Hannan-Quinn (HQC)

12 Critères d’information

Ces critères se calculent comme suit:
- \(AIC=ln\left(\frac{SCR}{N}\right)+\frac{2K}{N}\)
- \(SC=ln\left(\frac{SCR}{N}\right)+\frac{Kln(K)}{N}\)
- \(HQC=Nln\left(\frac{SCR}{N}\right)+2Kln[ln(N)]\)
La valeur de ces critères est donnée dans le tableau de régression
On choisit le modèle qui minimise les critères d’information

Caution

Attention: Ces critres sont à manier avec prudence et le raisonnement économique doit toujours primer

13 Questions

13.0.1 Objectif du TD

Vérifier les hypothèses économiques.

13.0.2 Question : Modèle à estimer

Estimer par les MCO le modèle :

\(\log(Pass_i) = \beta_0 + \beta_1 Fatal_Passagers_i + \beta_2 NonFatal_Passagers_i + \beta_3 Low_cost_i + \beta_4 Public_i + \beta_5 Inter_i + \beta_6 Age_i + \beta_7 Trafic_nat_i + \beta_8 Trafic_dest_i + \varepsilon_i\)

Afficher la réponse

Lecture/bonnes pratiques :

Avec une variable dépendante en log, un coefficient sur une variable en niveau s’interprète en % : \(\beta_k \approx 100\times\Delta\%\ \text{de }Pass\) pour +1 unité de \(X_k\) (si \(|\beta_k|\) modeste).

Pour les muettes (Low_cost, Public, Inter), \(100\times(\exp(\beta)-1)\) donne l’effet % moyen par rapport à la catégorie de référence.
En pratique (EViews) : Quick → Estimate Equation, entrer la formule, puis vérifier signification (p-values), \(R^2\), et résidus.

13.0.3 Question : Stabilité des coefficients

Quel problème induit le non-respect de la stabilité des coefficients ?

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(a) Quel problème en cas de non-stabilité ?

Les coefficients varient selon le temps ou les sous-groupes → la relation n’est pas homogène sur tout l’échantillon. Conséquences : mauvaise spécification, biais d’interprétation, tests t/F non pertinents « moyennés », prévisions trompeuses pour certains sous-ensembles.

13.0.4 Question : Stabilité des coefficients

Comment peut-on tester cette hypothèse ?
Les coefficients de l’estimation sont-ils identiques pour les pays européens et non-européens ?
Si non, comment pouvez-vous corriger ce problème ?

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(b) Comment tester cette hypothèse ?

Plusieurs approches :

Point de rupture connu (par exemple une date précise, changement de politique) :
- Test de Chow (comparaison avant/après la date de rupture) ;
- ou estimation avec variables d’interaction et test d’égalité conjointe des coefficients.
Point de rupture inconnu : dans ce cours on retient le test de Quandt-Andrews, qui cherche automatiquement une ou plusieurs dates de rupture possibles dans l’échantillon.

13.0.5 Question : Stabilité des coefficients

Les coefficients de l’estimation sont-ils identiques pour les pays européens et non-européens ?
Si non, comment pouvez-vous corriger ce problème ?

Afficher la réponse

Créer une variable muette UE, introduire des interactions muette × variables explicatives puis tester l’égalité des coefficients (Wald ou test de Chow).

Si les coefficients diffèrent, on peut :

conserver les interactions (coefficients spécifiques par groupe),
ou estimer deux modèles séparés.

13.0.6 Question : Test du RESET

Quel est l’objectif de ce test ?
Quelle est l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative ?

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Objectif / Hypothèses :

Le RESET de Ramsey détecte une mauvaise spécification fonctionnelle (omission de termes non linéaires, interactions, variables pertinentes).

\(H_0\) : bonne spécification (pas de non-linéarités/termes manquants détectables).
\(H_1\) : mauvaise spécification (il manque des transformations de \(X\), interactions, ou la forme n’est pas linéaire).

13.0.7 Question : Test du RESET

Le modèle estimé passe-t-il ce test ?

Afficher la réponse

Mise en œuvre (EViews) : View → Stability Diagnostics → Ramsey RESET test (ou View → Specification Tests, selon version). Lire la statistique F et la p-value.

Décision avec la statistique F

Relever la statistique \(F_{\text{obs}}\) donnée par EViews et les degrés de liberté \((k,\,n-k)\) indiqués dans le tableau du test.
Trouver dans la table de la loi de Fisher la valeur critique \(F_{\alpha}(k,\,n-k)\).
Comparer :
- Si \(F_{\text{obs}} \le F_{\alpha}(k, n-k)\): on ne rejette pas \(H_0\) → la forme linéaire n’est pas remise en cause.
- \(F_{\text{obs}} > F_{\alpha}(k, n-k)\): on rejette \(H_0\) → le modèle est mal spécifié ; il faut ajouter des termes (quadratiques, cubiques, interactions, transformations log, etc.) puis re-tester.